QCM algebre - examen smpc 1

QCM en algebre SMPC1

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Q1. E et F deux K-espace vectoriels. Soit f: E-->F une application linéare . Soit G={g₁,g₂,...,g_n} une partie génératrice de E.
Si dim(E)=n, alors:

la famille G est une famille génératrice minimale.
la famille G est une famille génératrice maximale.
la famille G est une base de E.
E=vect({g₁,g₂,...,g_n}).

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Q2. Enoncer le Théoreme de Rang:

dim(F)=dim(im(f))+dim(ker(f)).
dim(E)=rg(f)+dim(ker(f)).
dim(E+F)=rg(f)+dim(ker(f)).
n=rg(f)+dim(ker(f)).

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Q3. Supposons que dim(E)=dim(F) et f est injective.

f est un endomorphisme.
f est injective et bijective.
f est surjective.
im(f)=E.

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Q4. Supposons que dim(F) est different de n et f est surjective.

ker(f)={0 de F}
ker(f)={0 de E}
f est bijective
im(f)=E

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Q5. choisie les bon réponces.

Tout vecteur X de E s'écrit comme combinaison linéaire unique de la famille G.
L'image de la famille G par l'application f est une base de F.
L'image d'une base de E par l'application f est une base de F.
L'image d'une base de E par l'application f est une famille génératrice de im(f).

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Q6. soit P un polynome tel que les restes de la division euclidienne de P par (X-1) , (X-2) et (X-3) soient respectivement 3 , 7 et 13. Déterminer le reste de la division euclidienne, noté R, du polynome P par le polynome (X-1)(X-2)(X-3).
le polynome R s'écrit :

R(X)=A
R(X)=AX+B
R(X)=AX²+BX+C
R(X)=AX³+BX²+CX+D

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Q7. Déterminer le reste R:

R(X)=1
R(X)=X+1
R(X)=X²+X+1
R(X)=X³+X²+X+1

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Q8. soit P(X)=(X-3)²ⁿ + (X-2)ⁿ - 2 déterminer le reste de la division de P par D(X)=(X-2)²

R(X)=AX+B
R(X)=2nX²-nX+1
R(X)=2nX+4n+1
R(X)=-2nX+4n-1

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Q9. soient A={a₁,a₂,a₃,a₄} et B={b₁,b₂,b₃} respectivement les bases canonique de R⁴ et R³ . soit f de R⁴ vers R³ definie par :
f(a₁)=b₁-b₂+2b₃
f(a2)=2b₁+b₂-3b3
f(a3)=3b₁-b₃
f(a4)=-b₁-2b₂+5b₃
déterminer le dimension de ker(f) et de im(f)

dim(ker(f))=1 et rg(f)=3
dim(ker(f))=2 et rg(f)=2
dim(ker(f))=3 et rg(f)=1
dim(ker(f))=0 et rg(f)=4

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Q10. donne les bases de ker(f) et im(f)

ker(f)=vect{(1,0,0,0),(0,1,0,0)} et im(f)=vect{(0,0,1,0),(0,0,0,1)}
ker(f)=vect{(-1,-1,1,0),(-1,1,0,1)} et im(f)=vect{(1,-1,2),(2,1,-3)}
ker(f)=vect{(1,0,0,0),(0,1,0,0)} et im(f)=vect{(-1,-1,1,0),(-1,1,0,1)}
ker(f)=vect{(-1,1,1,2),(-1,1,-1,1)} et im(f)=vect{(3,0,-1),(2,1,-3)}

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